3. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $a$ duljina brida kocke. Translatirajmo prvo dužinu $\overline{NC}$ za vektor $\overrightarrow{NM}$ ($\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{CE}$).

Kut koji tražimo je $\varphi=\angle DME$.

Iz trokuta $MDD_1$ imamo $$|MD|^2=\left(\frac a2\right)^2+a^2+a^2=\frac94a^2.$$ Iz trokuta $EMC_1$ dobivamo

$$|ME|^2=\left(\frac a2\right)^2+a^2+\left(\frac a2\right)^2=\frac32a^2.$$ Na kraju, iz trokuta $DCE$ je $$|DE|^2=a^2+\left(\frac a2\right)^2=\frac54a^2.$$ Iz kosinusovog poučka za trokut $DME$ dobivamo $$\cos\varphi=\frac{|MD|^2+|ME|^2-|DE|^2}{2\cdot|MD|\cdot|ME|}=\frac{5\sqrt6}{18}.$$

Drugo rješenje.

Neka je $\varphi$ traženi kut.

Označimo $\overrightarrow{AB}=\vec i$, $\overrightarrow{AD}=\vec j$, $\overrightarrow{AA_1}=\vec k$. Tada je $(\vec i,\vec j,\vec k)$ ortogonalna baza i $|\vec i|=|\vec j|=|\vec k|=a$.

Vrijedi $\overrightarrow{MD}=-\frac12\vec i+\vec j-\vec k$ i $\overrightarrow{NC}=\frac12\vec i+\vec j-\frac12\vec k$.

Moduli tih vektora su $|\overrightarrow{MD}|=\frac32a$ i $|\overrightarrow{NC}|=\frac{\sqrt6}2a$.

Sada imamo $$\begin{aligned} \overrightarrow{MD}\cdot\overrightarrow{NC}&=\left(-\frac12\vec i+\vec j-\vec k\right)\cdot\left(\frac12\vec i+\vec j-\frac12\vec k\right)\\ &=-\frac14|\vec i|^2+|\vec j|^2+\frac12|\vec k|^2=\frac54a^2, \end{aligned}$$ pa je konačno $$\cos\varphi=\frac{\overrightarrow{MD}\cdot\overrightarrow{NC}}{|\overrightarrow{MD}|\cdot|\overrightarrow{NC}|}=\frac{\frac54a^2}{\frac32a\cdot\frac{\sqrt6}2a}=\frac{5\sqrt6}{18}.$$