5. Zadatak

Prvo rješenje.

Funkciju $f$ zapišimo u obliku:

$$\begin{aligned} f(x)&=\frac{12x^2+8x+4}{(2x+1)^2}=\frac{3(2x+1)^2-4x+1}{(2x+1)^2}=3+\frac{-4x+1}{(2x+1)^2}\\ &=3+\frac{-2(2x+1)+3}{(2x+1)^2}=3-\frac{2}{2x+1}+\frac{3}{(2x+1)^2}. \end{aligned}$$

Uz supstituciju $\frac{1}{2x+1}=t$ promatramo funkciju $g(t)=3t^2-2t+3$.

Minimalna vrijednost funkcije $g$ jednaka je

$$m=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{36-4}{12}=\frac{32}{12}=\frac{8}{3},$$

a postiže se za

$$t=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{3}.$$

Minimalna vrijednost funkcije $f$ jednaka je minimalnoj vrijednosti funkcije $g$.

Dakle, minimalna vrijednost funkcije $f$ je $\frac{8}{3}$.

Kako funkcija $g$ postiže minimum za $t=\frac13$, iz $\frac{1}{2x+1}=\frac13$ dobivamo da funkcija $f$ postiže minimum za $x=1$.

Drugo rješenje.

Označimo

$$\frac{12x^2+8x+4}{(2x+1)^2}=a.$$

Tu jednakost možemo napisati u obliku $12x^2+8x+4=4ax^2+4ax+a$, odnosno

$$(12-4a)x^2+(8-4a)x+4-a=0.$$

Ako je $a=3$, dobivamo jednadžbu $-4x+1=0$. Dakle, za $x=\frac14$ funkcija $f$ poprima vrijednost $3$.

Ako je $a\ne3$, dobivamo kvadratnu jednadžbu $(12-4a)x^2+(8-4a)x+4-a=0$.

Rješenja ove jednadžbe su realni brojevi ako i samo ako je $D\ge0$.

Iz $D\ge0$ dobivamo

$$\begin{aligned} (8-4a)^2-4(12-4a)(4-a)&\ge0,\\ 64-64a+16a^2-4(48-12a-16a+4a^2)&\ge0,\\ 64-64a+16a^2-192+48a+64a-16a^2&\ge0,\\ 48a-128&\ge0,\\ a&\ge\frac{128}{48}=\frac83. \end{aligned}$$

Kako je $\frac{12x^2+8x+4}{(2x+1)^2}=a$ i $a\ge\frac83$ i $\frac83\le3$, zaključujemo da je minimalna vrijednost funkcije $f$ jednaka $\frac83$.

Za koji $x$ funkcija $f$ postiže minimum odredit ćemo rješavanjem jednadžbe $f(x)=\frac83$, odnosno

$$\frac{12x^2+8x+4}{4x^2+4x+1}=\frac83.$$

Dakle, za $x=1$ funkcija $f$ postiže minimum.