3. Zadatak

Pomnožimo li prvu jednadžbu s brojem $-3$ i dodamo drugoj jednadžbi dobivamo:

$$y^2-z^2=80.\tag{1}$$

Zaključujemo da je $|y|>|z|$, a zapišemo li jednadžbu u obliku

$$(y+z)(y-z)=80$$

možemo zaključiti da su $y$ i $z$ iste parnosti jer bi u protivnom njihov zbroj i razlika bili neparni, a time i umnožak $(y+z)(y-z)$, što je nemoguće.

Dakle, $y+z$ i $y-z$ su parni djelitelji broja $80$. Budući da je $|y|>|z|$ i da su svi uređeni parovi oblika $(\pm y,\pm z)$ rješenja jednadžbe (1), dovoljno je promotriti sljedeće slučajeve:

• $y+z=40$, $y-z=2$,
• $y+z=20$, $y-z=4$, i
• $y+z=10$, $y-z=8$.

Uzimajući u obzir sve moguće kombinacije predznaka, slijedi da je

$$(y,z)\in\{(\pm9,\pm1),(\pm12,\pm8),(\pm21,\pm19)\}.$$

Ako ova rješenja uvrstimo u jednadžbu $x^2=y^2+z^2+18$ iz početnog sustava, dobivamo $x\in\mathbb{Z}$ jedino ako je $(y,z)=(\pm9,\pm1)$. Vrijedi da je $x=\pm10$.

Tada se sva cjelobrojna rješenja $(x,y,z)$ dobiju uzimajući u obzir sve moguće kombinacije predznaka iz $(\pm10,\pm9,\pm1)$, a ima ih ukupno $2^3=8$.

Ili raspisano:

$$\begin{gathered} (10,9,1),\ (10,9,-1),\ (10,-9,1),\ (-10,9,1),\\ (10,-9,-1),\ (-10,-9,1),\ (-10,9,-1),\ (-10,-9,-1). \end{gathered}$$