1. Zadatak

Uočimo da je osjenčana površina jednaka zbroju površina dvaju sukladnih likova. Svaki od likova je nastao presjekom kruga upisanog u kvadrat i polukruga konstruiranog nad stranicom kvadrata.

Označimo li duljinu stranice kvadrata sa $x$, tada je $r=\frac{x}{2}$.

Uočimo da se svaki od sukladnih likova sastoji od dva jednakostranična trokuta duljine stranice $r$ i $4$ kružna odsječka kruga polumjera $r$ koji odgovaraju kutu od $60^\circ$.

Površina jednog od trokuta jednaka je

$$P_\triangle=\frac{r^2\sqrt{3}}{4}=\frac{x^2\sqrt{3}}{16}.$$

Površina kruga upisanog u kvadrat jednaka je

$$P_k=\frac{x^2}{4}\pi.$$

Površina kružnoga isječka jednaka je $\frac{1}{6}$ površine kruga, tj.

$$P_i=\frac{1}{6}P_k=\frac{1}{6}\cdot\frac{x^2}{4}\pi=\frac{x^2\pi}{24}.$$ $$P_{\text{odsječka}}=P_i-P_\triangle=\frac{x^2\pi}{24}-\frac{x^2\sqrt{3}}{16}.$$

Površina osjenčanog dijela kvadrata jest

$$P=8\cdot P_{\text{odsječka}}+4\cdot P_\triangle=8\left(\frac{x^2\pi}{24}-\frac{x^2\sqrt{3}}{16}\right)+\frac{x^2\sqrt{3}}{4}=\frac{x^2\pi}{3}-\frac{x^2\sqrt{3}}{4}.$$

Kako je površina osjenčanog dijela kvadrata jednaka $48\pi-36\sqrt{3}$, rješavanjem jednadžbe

$$48\pi-36\sqrt{3}=\frac{x^2\pi}{3}-\frac{x^2\sqrt{3}}{4}$$

dobivamo:

$$48\pi-36\sqrt{3}=\frac{4x^2\pi-3\sqrt{3}\cdot x^2}{12},$$ $$12(4\pi-3\sqrt{3})=\frac{x^2(4\pi-3\sqrt{3})}{12},$$ $$x^2=144.$$

Dakle, površina kvadrata je $144$.