6. Zadatak

Prvo rješenje.

Zapišimo kompleksne brojeve $1-i\sqrt3$ i $1+i$ u trigonometrijskom obliku:

$$1-i\sqrt3=2\left(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right),$$ $$1+i=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right).$$

Tada je

$$z=2^p\left(\cos\frac{5p\pi}{3}+i\sin\frac{5p\pi}{3}\right),$$ $$w=(\sqrt2)^q\left(\cos\frac{q\pi}{4}+i\sin\frac{q\pi}{4}\right).$$

Ako je $z=w$, jednakost modula daje

$$2^p=(\sqrt2)^q,$$

Za argumente dodatno vrijedi

$$\frac{5p\pi}{3}=\frac{q\pi}{4}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Iz $2^p=(\sqrt2)^q$, odnosno $2^p=2^{q/2}$, slijedi $q=2p$. Zatim

$$\frac{5p\pi}{3}-\frac{q\pi}{4}=2k\pi,$$ $$\frac{5p\pi}{3}-\frac{2p\pi}{4}=2k\pi,$$ $$\frac{7p\pi}{6}=2k\pi,$$

pa je

$$p=\frac{12}{7}k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Dakle, najmanja vrijednost broja $k$ za koju je $p$ prirodan broj iznosi $7$. Tada je

$$p=12,\qquad q=24.$$

Drugo rješenje.

Uočimo da iz $|z|=|w|$ slijedi $2^p=(\sqrt2)^q$. Tada je $2p=q$.

Tražimo $p$ takav da je

$$(1-i\sqrt3)^p=(1+i)^{2p},$$

odnosno

$$(1-i\sqrt3)^p=(2i)^p,$$

pa je

$$\left(\frac{1-i\sqrt3}{2}\right)^p=i^p.$$

Lijeva strana može imati samo šest vrijednosti:

$$1,\quad \frac12-i\frac{\sqrt3}{2},\quad -\frac12-i\frac{\sqrt3}{2},\quad -1,\quad -\frac12+i\frac{\sqrt3}{2},\quad \frac12+i\frac{\sqrt3}{2},$$

za $p\in\{6m,6m+1,6m+2,6m+3,6m+4,6m+5\}$, $m\in\mathbb N$. Desna strana može imati četiri vrijednosti $1,i,-1,-i$ za $p\in\{4l,4l+1,4l+2,4l+3\}$, $l\in\mathbb N$.

Budući da lijeva i desna strana moraju biti jednake, broj $p$ je takav da su obje jednake $1$ ili obje jednake $-1$.

U prvom slučaju je $p=6m=4l$, odnosno $p$ je djeljiv s $3$ i s $4$ pa je $p=12k$, $k\in\mathbb N$.

U drugom je slučaju $p=6m+3=4l+2$, što je nemoguće jer bi $p$ istovremeno bio i paran i neparan.

Konačno, rješenja su svi brojevi $p$ djeljivi s $12$. Najmanji traženi brojevi su

$$p=12,\qquad q=24.$$