5. Zadatak

Prvo rješenje.

Vrijedi $\angle ACB=\angle ADB=x$ i $\angle ABD=\angle ACD=y$ jer su to obodni kutovi nad istom tetivom.

Kutovi $\angle ADC$ i $\angle ABC$ kutovi su nad promjerom pa je njihova mjera $90^\circ$, a trokuti $ABC$ i $ACD$ pravokutni.

Vrijedi $\angle ADE=x$, pa je $\angle EDC=90^\circ-x$, a $\angle DCE=x$.

Iz trokuta $ABF$ je

$$|BF|=|AB|\cos\angle ABF=|AB|\cos y.$$

Iz trokuta $ABC$ je $|AB|=2R\sin x$. Slijedi

$$|BF|=2R\sin x\cos y.$$

Iz trokuta $DEC$ je

$$|DE|=|DC|\sin\angle ECD=|DC|\sin x,$$

a iz trokuta $ACD$ je $|DC|=2R\cos\angle ACD=2R\cos y$. Slijedi

$$|DE|=2R\sin x\cos y,$$

pa prema tome vrijedi $|BF|=|DE|$.

Drugo rješenje.

Neka je $c=|CD|$, $a=|AB|$. Računamo:

$$|DE|=c\cdot\cos\angle CDE$$

(iz pravokutnog trokuta $CDE$)

$$=c\cdot\cos\angle CAB$$

($\angle CDE$ i $\angle CAB$ su obodni kutovi nad istom tetivom)

$$=c\cdot\frac{a}{2R}$$

(iz pravokutnog trokuta $ABC$).

Analogno dobivamo i

$$|BF|=a\cdot\frac{c}{2R}$$

(ne treba računati zbog „simetrije” u dobivenom izrazu). Prema tome, $|BF|=|DE|$.

Treće rješenje.

Neka su $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ obodni kutovi redom nad tetivama $AB$, $BC$, $CD$, $DA$. Pripadni središnji kutovi su $2\alpha,2\beta,2\gamma,2\delta$.

Zbog uvjeta da je $AC$ promjer vrijedi

$$2\alpha+2\beta=2\gamma+2\delta=180^\circ.\tag{*}$$

Po poučku o sinusima (ili iz pravokutnih trokuta $ABC$, $ACD$) znamo:

$$|AB|=2R\sin\alpha,\qquad |CD|=2R\sin\gamma.$$

Vrijedi

$$|BF|=|AB|\cos\angle ABD=|AB|\cos\delta=2R\sin\alpha\cos\delta,$$

te

$$|DE|=|CD|\cos\angle BDC=2R\sin\gamma\cos\beta.$$

Kako zbog (*) vrijedi $\sin\alpha=\cos\beta$ i $\sin\gamma=\cos\delta$, time je tvrdnja dokazana.