4. Zadatak

Kako su kutovi trokuta $ABC$ $30^\circ$ i $60^\circ$, trokut $ABC$ je polovina jednakostraničnog trokuta sa stranicom duljine $2a$.

Dakle, $|AB|=2a$, $|AC|=a\sqrt3$.

Trokuti $BGS$ i $BES$ imaju dvije jednake stranice, $r$ i zajedničku stranicu $BS$, te kut između njih ($60^\circ$), pa su po poučku SKS sukladni. Isto vrijedi i za pravokutne trokute $CFS$ i $CGS$ (zajedno čine kvadrat $CFSG$). Tada vrijedi

$$|CF|=|CG|=r,\qquad |BE|=|BG|=a-r.$$

$CFSG$ je kvadrat pa je $|CS|=r\sqrt2$.

Kako je $|BD|=\frac12|AB|=a$, slijedi

$$|ED|=a-(a-r)=r.$$

Zaključujemo da je $|DS|^2=2r^2$ te je $|DS|=r\sqrt2=|CS|$.

Izračunajmo polumjer $r$.

Kutovi trokuta $BES$ su $30^\circ$ i $60^\circ$ pa je trokut $BES$ polovina jednakostraničnog trokuta sa stranicom duljine $2r$. Stranica $BE$ je visina tog jednakostraničnog trokuta te vrijedi

$$|BE|=\frac{2r\sqrt3}{2}.$$

S druge je strane $|BE|=a-r$.

Dakle, $a-r=r\sqrt3$, odnosno

$$r=\frac{a(\sqrt3-1)}{2}.$$