5. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $x$ količina otopine u posudi prije dolijevanja, a $y$ ukupna količina tekućine koja stane u posudu. Neka je $p$ postotak alkohola u otopini nakon prvog dopunjavanja.

Tada za količinu alkohola nakon prvog dopunjavanja vrijedi

$$p\%y=85\%x+21\%(y-x)$$

što daje

$$\frac{x}{y}=\frac{p-21}{64}.\tag{1}$$

Za količinu alkohola nakon drugog dopunjavanja vrijedi

$$70\%y=p\%x+21\%(y-x)$$

ili

$$\frac{x}{y}=\frac{49}{p-21}.\tag{2}$$

Rješavanjem sustava jednadžbi (1) i (2), dobivamo

$$(p-21)^2=49\cdot64$$ $$p-21=7\cdot8$$ $$p=77.$$

Postotak alkohola nakon prvog dopunjavanja je 77%.

Tada iz (1) ili (2) slijedi da je

$$\frac{x}{y}=\frac{56}{64}=\frac78$$

pa je prije prvog dopunjavanja $\frac78$ posude bilo ispunjeno otopinom.

Drugo rješenje.

Neka je $x$ količina tekućine prije dolijevanja. Bez smanjenja općenitosti, možemo uzeti da je zapremina posude 1. Tada je $x<1$.

Na početku je u otopini $\frac{85}{100}x$ alkohola.

Dolijevanjem smo dodali $\frac{21}{100}\cdot(1-x)$ alkohola i sad ga u punoj posudi ima

$$\frac{21}{100}+\frac{64}{100}x.$$

Odlijevanjem se količina alkohola smanji za

$$(1-x)\cdot\left(\frac{21}{100}+\frac{64}{100}x\right).$$

Ponavljanjem postupka dodajemo opet $\frac{21}{100}\cdot(1-x)$ alkohola i u toj smjesi ima 70% alkohola. Iz jednadžbe

$$\frac{21}{100}+\frac{64}{100}x-(1-x)\cdot\left(\frac{21}{100}+\frac{64}{100}x\right)+\frac{21}{100}\cdot(1-x)=\frac{70}{100}$$

nakon sređivanja dobivamo jednadžbu

$$\frac{21}{100}+\frac{64}{100}x-(1-x)\cdot\frac{64}{100}x=\frac{70}{100},$$

odnosno

$$\frac{64}{100}x^2=\frac{49}{100}\Rightarrow x=\frac78.$$

Postotak alkohola nakon prvog dopunjavanja je $\frac{21}{100}+\frac{64}{100}x$ ili $0.21+0.56=0.77=77\%$.