1. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $k$ broj redova u kazalištu. Ukupan broj sjedala u kazalištu $S$ je jednak sumi aritmetičkog niza:

$$S=15+17+19+\cdots+(15+2(k-1))=k^2+14k.$$

Da bi $k^2+14k$ bio potpuni kvadrat, treba mu dodati $49$, pa imamo:

$$k^2+14k+49=(k+7)^2=n^2+49,$$ $$(k+n+7)(k-n+7)=49.$$

S obzirom da je $49=(\pm1)\cdot(\pm49)$ ili $49=(\pm7)\cdot(\pm7)$, te da je $k+n+7>0$ i $k-n+7<k+n+7$, zaključujemo da je jedina mogućnost $k-n+7=1$ i $k+n+7=49$.

Iz navedenog sustava jednadžbi dobijemo $k=18$, odnosno u kazalištu ima $18$ redova.

Napomena: Iz $n^2+7^2=(k+7)^2$, učenik može dobiti rješenje i na način da traži “najmanju” Pitagorinu trojku kojoj je jedan član jednak $7$, a to je $(7,24,25)$. Slijedi $k+7=25$, odnosno $k=18$.

Drugo rješenje.

Kao i u prvom rješenju, $S=k^2+14k$.

S obzirom da $k^2+14k$ treba biti potpuni kvadrat, imamo $k^2+14k=(k+a)^2$, iz čega slijedi

$$k=\frac{a^2}{14-2a}\in\mathbb{N},$$

odnosno $2(7-a)\mid a^2$, pa mora vrijediti da je $a$ paran i $a<7$.

Razmatramo slučajeve:

• za $a=2$, $k=\frac{4}{10}\notin\mathbb{N}$,
• za $a=4$, $k=\frac{16}{6}\notin\mathbb{N}$,
• za $a=6$, $k=\frac{36}{2}=18$, što je rješenje zadatka.