5. Zadatak

Da bi nakon svog prvog bacanja Borna pobijedio, Andro u prvom bacanju mora dobiti broj različit od 6, a Borna broj 6. Kako je vjerojatnost dobitka šestice u jednom bacanju jednaka $\frac16$, a broja različitog od šest $\frac56$, slijedi da je vjerojatnost da Borna pobijedi nakon svog prvog bacanja jednaka

$$\frac56\cdot\frac16.$$

Slično, da bi Borna pobijedio nakon svog drugog bacanja, Andro u svoja dva prva bacanja te Borna u svom prvom bacanju ne smiju dobiti šesticu, koju treba dobiti Borna u svom drugom bacanju. Navedeni događaj će se ostvariti s vjerojatnošću

$$\frac56\cdot\frac56\cdot\frac56\cdot\frac16=\left(\frac56\right)^3\cdot\frac16.$$

Analogno zaključujemo da je vjerojatnost da Borna pobijedi u svom $n$-tom bacanju jednaka

$$\left(\frac56\right)^{2n-1}\cdot\frac16,$$

pa je šansa Bornine pobjede $p$ jednaka beskonačnoj sumi

$$\begin{aligned} p&=\frac56\cdot\frac16+\left(\frac56\right)^3\cdot\frac16+\cdots+\left(\frac56\right)^{2n-1}\cdot\frac16+\cdots\\ &=\frac16\left(\frac56+\left(\frac56\right)^3+\cdots+\left(\frac56\right)^{2n-1}+\cdots\right). \end{aligned}$$

Izraz u zagradi je geometrijski red s prvim članom $\frac56$ i kvocijentom $\left(\frac56\right)^2<1$, pa njegova suma postoji i jednaka je

$$\frac{\frac56}{1-\left(\frac56\right)^2}=\frac{30}{11}.$$

Sada je vjerojatnost za Borninu pobjedu jednaka

$$p=\frac16\cdot\frac{30}{11}=\frac5{11}.$$