2. Zadatak

Iz prve jednadžbe slijede uvjeti $|\pi x|>0$ i $|\pi x|\ne1$, odnosno $x\ne0$ i $x\ne\pm\frac1\pi$.

Riješimo prvu jednadžbu:

$$\log_3|\pi x|+2\log_{|\pi x|}3=3,$$ $$\log_3|\pi x|+\frac{2}{\log_3|\pi x|}=3,$$ $$\log_3^2|\pi x|-3\log_3|\pi x|+2=0,$$ $$(\log_3|\pi x|-2)(\log_3|\pi x|-1)=0,$$

iz čega slijedi $\log_3|\pi x|=2$ ili $\log_3|\pi x|=1$.

Iz $\log_3|\pi x|=2$ slijedi $|\pi x|=9$, odnosno $x=\pm\frac9\pi$.

Iz $\log_3|\pi x|=1$ slijedi $|\pi x|=3$, odnosno $x=\pm\frac3\pi$.

Primijetimo da sva četiri dobivena rješenja zadovoljavaju uvjete dobivene na početku.

Iz druge jednadžbe imamo:

$$\sin^2(x+y)+1=2\sin(x+y),$$ $$(\sin(x+y)-1)^2=0,$$ $$\sin(x+y)=1,$$ $$x+y=\frac\pi2+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},$$ $$y=\frac\pi2-x+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.$$

Slijedi da su tražena rješenja

$$(x,y)\in\left\{\left(\pm\frac9\pi,\frac\pi2\mp\frac9\pi+2k\pi\right),\left(\pm\frac3\pi,\frac\pi2\mp\frac3\pi+2k\pi\right),\ k\in\mathbb{Z}\right\}.$$