3. Zadatak

Prvo rješenje.

Označimo s $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ redom kuteve uz vrhove $A$, $B$ i $C$ trokuta $ABC$.

Kako je

$$P_{ABC}=\frac{|AC|\cdot|BC|\sin\gamma}{2}=\frac{|AB|\cdot|BC|\sin\beta}{2}=\frac{|AB|\cdot|AC|\sin\alpha}{2},$$

imamo:

$$P_{AC_1B_1}=\frac{|AC_1|\cdot|AB_1|\sin\alpha}{2}=\frac{k|AB|\cdot(|AC|-k|AC|)\sin\alpha}{2}=k(1-k)P_{ABC},$$ $$P_{BA_1C_1}=\frac{|BA_1|\cdot|BC_1|\sin\beta}{2}=\frac{k|BC|\cdot(|AB|-k|AB|)\sin\beta}{2}=k(1-k)P_{ABC},$$ $$P_{CB_1A_1}=\frac{|CB_1|\cdot|CA_1|\sin\gamma}{2}=\frac{k|CA|\cdot(|BC|-k|BC|)\sin\gamma}{2}=k(1-k)P_{ABC}.$$

Sada za površinu trokuta $A_1B_1C_1$ imamo:

$$\begin{aligned} P_{A_1B_1C_1}&=P_{ABC}-P_{AC_1B_1}-P_{BA_1C_1}-P_{CB_1A_1}\\ &=P_{ABC}-3k(1-k)P_{ABC}=(1-3k(1-k))P_{ABC}\\ &=(3k^2-3k+1)P_{ABC}. \end{aligned}$$

Funkcija $f(k)=3k^2-3k+1$ postiže minimum za $k=-\frac{-3}{2\cdot3}=\frac12$.

Drugo rješenje.

Neka je točka $D$ nožište visine iz vrha $A$ na $\overline{BC}$, a točka $D'$ nožište okomice iz točke $B_1$ na $\overline{BC}$.

Trokuti $ADC$ i $B_1D'C$ su slični (oba su pravokutna, imaju zajednički kut u vrhu $C$, kutovi $\angle DAC$ i $\angle D'B_1C$ imaju paralelne krakove). Slijedi da su im stranice proporcionalne. Budući je $\frac{|CB_1|}{|CA|}=k$, slijedi da je $\frac{|B_1D'|}{|AD|}=k$, odnosno vrijedi $|B_1D'|=k|AD|$.

Iz $\frac{|BA_1|}{|BC|}=\frac{|CB_1|}{|CA|}=\frac{|AC_1|}{|AB|}=k$ i $|A_1C|=|BC|-|BA_1|$ slijedi

$$\frac{|A_1C|}{|BC|}=\frac{|BC|-|BA_1|}{|BC|}=1-k\Longrightarrow |A_1C|=(1-k)|BC|.$$

Kako je $P_{ABC}=\frac12|BC|\cdot|AD|$, imamo:

$$\begin{aligned} P_{A_1CB_1}&=\frac12|A_1C|\cdot|B_1D'|\\ &=\frac12(1-k)k|BC|\cdot|AD|\\ &=(1-k)kP_{ABC}. \end{aligned}$$

Analogno, $P_{B_1AC_1}=(1-k)kP_{ABC}$ i $P_{C_1BA_1}=(1-k)kP_{ABC}$ te je

$$P_{A_1B_1C_1}=P_{ABC}-3k(1-k)P_{ABC}=(3k^2-3k+1)P_{ABC}.$$

Najmanju ćemo površinu dobiti kada je $3k^2-3k+1$ najmanje, što vrijedi za $k=-\frac{-3}{2\cdot3}=\frac12$.