7. Zadatak

U trokutu $AVD$ je $\angle VAD=\frac\alpha2$ i $\angle ADV=\frac{180^\circ-\alpha}{2}=90^\circ-\frac\alpha2$. Stoga je trokut $AVD$ pravokutan, a kut $\angle UVX=90^\circ$. Iz istog razloga su i ostali kutovi četverokuta $XYUV$ pravi kutovi, pa je taj četverokut pravokutnik.

Iz trokuta $AVD$ je

$$|DV|=b\sin\frac\alpha2,\qquad |AV|=b\cos\frac\alpha2.$$

Iz trokuta $DXC$ je

$$|DX|=a\sin\frac\alpha2.$$

Iz trokuta $ABU$ je

$$|AU|=a\cos\frac\alpha2.$$

Tada su duljine stranica pravokutnika:

$$|VX|=a\sin\frac\alpha2-b\sin\frac\alpha2=(a-b)\sin\frac\alpha2$$

i

$$|VU|=a\cos\frac\alpha2-b\cos\frac\alpha2=(a-b)\cos\frac\alpha2.$$

Površina pravokutnika je

$$P=|VX|\cdot|VU|=(a-b)^2\sin\frac\alpha2\cos\frac\alpha2.$$

Kako je $\sin\frac\alpha2=\frac35$, slijedi

$$\cos\frac\alpha2=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=\frac45.$$

Traženu razliku računamo iz:

$$48=(a-b)^2\cdot\frac35\cdot\frac45\Rightarrow(a-b)^2=100\Rightarrow a-b=10\,\text{cm}.$$