6. Zadatak

Primjenom Vieteovih formula dobivamo $x_1+x_2=-1$, $x_1x_2=c$.

Pomnožimo li jednakost

$$\frac{2x_1^3}{2+x_2}+\frac{2x_2^3}{2+x_1}=-1$$

s $(2+x_1)(2+x_2)$ dobivamo

$$4(x_1^3+x_2^3)+2(x_1^4+x_2^4)+2(x_1+x_2)+x_1x_2+4=0.\tag{*}$$

Svaku zagradu u ovom izrazu prikazat ćemo pomoću zbroja i umnoška nultočaka kako bismo mogli primijeniti Vieteove formule.

$$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)=-1+3c.\tag{**}$$ $$x_1^4+x_2^4=(x_1^2+x_2^2)^2-2(x_1x_2)^2.$$ $$\begin{aligned} x_1^4+x_2^4&=\bigl[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\bigr]^2-2(x_1x_2)^2\\ &=2c^2-4c+1.\tag{***} \end{aligned}$$

Uvrstimo li () i () u () dobivamo

$$4c^2+5c=0\Rightarrow c_1=0\quad\text{i}\quad c_2=-\frac54.$$