4. Zadatak

$$z=x+yi,\qquad x,y\in\mathbb R.$$

Iz $|z-4-4i|=\sqrt2$ dobivamo

$$(x-4)^2+(y-4)^2=2.$$

Skicirajmo skup rješenja u kompleksnoj ravnini.

Apsolutna vrijednost kompleksnog broja $z=x+yi$, $x,y\in\mathbb R$ predstavlja udaljenost točke $Z(x,y)$ od ishodišta. Stoga na danoj kružnici tražimo najbližu i najudaljeniju točku od ishodišta. One se nalaze na pravcu $OS$ koji prolazi kroz ishodište i središte kružnice, odnosno na pravcu $y=x$. Označimo ih sa $Z_1$ i $Z_2$. Ukoliko je $T(a,b)$, $a\neq b$ proizvoljna točka na kružnici, zbog nejednakosti trokuta vrijedi:

$$|OS|\leq|OT|+|TS|\iff|OZ_1|+r\leq|OT|+r\iff|OZ_1|\leq|OT|.$$

To znači da je točka $Z_1$ najbliža ishodištu.

Točka $Z_2$ ima najveću udaljenost od ishodišta jer je $OZ_2$ stranica nasuprot najvećeg kuta u trokutu $OZ_2T$ ($\angle OTZ_2=\angle OTZ_1+90^\circ$).

Tražene kompleksne brojeve dobivamo rješavanjem sustava jednadžbi

$$\begin{cases} (x-4)^2+(y-4)^2=2,\\ y=x. \end{cases}$$

Rješenja tog sustava su $(3,3)$ i $(5,5)$.

Kompleksan broj koji zadovoljava uvjet $|z-4-4i|=\sqrt2$ i ima najmanju apsolutnu vrijednost je $z_1=3+3i$, a onaj koji ima najveću apsolutnu vrijednost je broj $z_2=5+5i$.

Napomena. Jedan bod učenik može dobiti:

• ako je samo točno nacrtao kružnicu direktno iz uvjeta $|z-4-4i|=\sqrt2$, bez njezine jednadžbe;
• ako nema skice, a napisana je jednadžba kružnice;
• ako ima i jedno i drugo.

Učenici će intuitivno sa slike zaključiti da se rješenja nalaze na pravcu $y=x$. Ako se učenik pozove na nacrtanu sliku na kojoj se vidi da je uspoređivao udaljenost s još nekom točkom, da su najmanja i najveća udaljenost upravo u točkama $Z_1$ i $Z_2$, ne treba inzistirati na detaljno navedenom argumentiranju. Ukoliko ima samo nacrtani pravac $y=x$, bez ikakvog komentara, a sve ostalo je točno izračunato, oduzeti 1 bod.