1. Zadatak

Prvo rješenje.

$$(x-20)(x+17)=\frac14a\iff x^2-3x-340-\frac14a=0.$$

Oba rješenja jednadžbe će biti pozitivni realni brojevi ako su ispunjeni sljedeći uvjeti:

1. $D\geq0\iff9+4\left(340+\frac14a\right)\geq0\Rightarrow a\geq-1369$.
2. $x_1+x_2>0$, a kako je $x_1+x_2=3$ to vrijedi za svaki realan broj $a$.
3. $x_1x_2>0\Rightarrow-340-\frac14a>0\Rightarrow a<-1360$.

Dakle, za $a\in[-1369,-1360\rangle$ oba rješenja dane jednadžbe su pozitivni realni brojevi, a u tom intervalu ima 9 cijelih brojeva.

Drugo rješenje.

Dana je jednadžba ekvivalentna s $x^2-3x-340-\frac14a=0$. Diskriminanta ove kvadratne jednadžbe je $D=1369+a$, a rješenja

$$x_1=\frac{3+\sqrt{1369+a}}2\qquad\text{i}\qquad x_2=\frac{3-\sqrt{1369+a}}2.$$

Kako dana jednadžba mora imati pozitivna realna rješenja, rješavamo sljedeći sustav nejednadžbi:

$$\begin{cases} D=1369+a\geq0,\\[2mm] \dfrac{3+\sqrt{1369+a}}2>0\quad\text{i}\quad\dfrac{3-\sqrt{1369+a}}2>0. \end{cases}$$

Iz prve nejednadžbe slijedi $a\geq-1369$. Prva nejednadžba u drugoj skupini ispunjena je za sve realne brojeve $a$. Iz druge slijedi:

$$3-\sqrt{1369+a}>0\iff\sqrt{1369+a}<3\iff1369+a<9\iff a<-1360.$$

Dakle, za $a\in[-1369,-1360\rangle$ oba rješenja dane jednadžbe su pozitivni realni brojevi, a u tom intervalu ima 9 cijelih brojeva.