4. Zadatak

$$\frac{r^2\pi(R+x)}{3}=2\cdot\frac{r_1^2\pi R}{3}$$ $$r^2\pi(R+x)=2\cdot r_1^2\pi R.$$

Iz sličnosti trokuta slijedi: $r_1:r=R:(R+x)$, tj.

$$r_1=r\cdot\frac{R}{R+x}.$$

Uvrstimo li to u gornje jednakosti imamo: $r^2(R+x)=2r^2\cdot\frac{R^2}{(R+x)^2}\cdot R$.

$$(R+x)^3=2\cdot R^3\quad\Rightarrow\quad R+x=R\sqrt[3]{2}\quad\Rightarrow\quad x=R(\sqrt[3]{2}-1).$$

Prema poučku o obodnom i središnjem kutu je $\alpha=\beta$.

Tada je

$$\cos\alpha=\cos\beta=\frac{x}{R}=\frac{R(\sqrt[3]{2}-1)}{R}=\sqrt[3]{2}-1.$$