2. Zadatak

Odredimo uvjete za koje je izraz na lijevoj strani nejednadžbe definiran:

$$\frac{2x-1}{1+x}>0 \tag{1}$$ $$\log_2\frac{2x-1}{1+x}>0,\ \text{tj.}\ \frac{2x-1}{1+x}>1 \tag{2}$$ $$\frac{x+4}{2}>0,\qquad\frac{x+4}{2}\ne1,\ \text{tj.}\ x>-4,\ x\ne-2 \tag{3}$$

Iz (1) i (2) slijedi da je $\frac{2x-1}{1+x}>1$. Slijedi $\frac{x-2}{1+x}>0$, odnosno $x\in\langle-\infty,-1\rangle\cup\langle2,\infty\rangle$, što zajedno s (3) daje konačan uvjet

$$x\in\left(\langle-4,-1\rangle\cup\langle2,\infty\rangle\right)\setminus\{-2\}.$$

Nadalje, rješavanje nejednadžbe dijelimo na dva slučaja, kada je baza $0<\frac{x+4}{2}<1$ i kada je $\frac{x+4}{2}>1$.

U prvom slučaju $0<\frac{x+4}{2}<1$, tj. za $-4<x<-2$ vrijedi

$$\log_2\frac{2x-1}{1+x}>\left(\frac{x+4}{2}\right)^0$$ $$\frac{2x-1}{1+x}>2$$ $$\frac{-3}{1+x}>0.$$

Tada je $x+1<0$, tj. $x<-1$ pa je rješenje ovog slučaja $x\in\langle-4,-2\rangle$.

U drugom slučaju za $\frac{x+4}{2}>1$, odnosno za $x>-2$ vrijedi

$$\log_2\frac{2x-1}{1+x}<\left(\frac{x+4}{2}\right)^0$$ $$\frac{2x-1}{1+x}<2$$ $$\frac{-3}{1+x}<0.$$

Rješenje ovog slučaja su brojevi $x>-1$.

Konačno je rješenje unija rješenja prethodna dva slučaja, a presjek s početnim uvjetima. To je

$$x\in\langle-4,-2\rangle\cup\langle2,\infty\rangle.$$