4. Zadatak

Neka je $x$ pozitivan realni broj takav da vrijedi $\overrightarrow{AT}=x\cdot\overrightarrow{AC}$.

Iz jednakosti $\overrightarrow{AP}=\frac34\overrightarrow{AB}$ proizlazi da je $\overrightarrow{PB}=\frac14\overrightarrow{AB}$.

Nadalje, iz jednakosti $2\overrightarrow{CS}=3\overrightarrow{SP}$ slijedi da je $|CS|:|SP|=3:2$, odnosno da je $\overrightarrow{CS}=\frac35\overrightarrow{CP}$, a $\overrightarrow{SP}=\frac25\overrightarrow{CP}$.

Sve vektore u zadanoj ravnini možemo na jedinstven način prikazati kao linearnu kombinaciju neka dva nekolinearna vektora te ravnine, na primjer $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{AC}$.

Vrijede sljedeće jednakosti:

$$\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC},$$ $$\begin{aligned} \overrightarrow{SP} &=\frac25\overrightarrow{CP} =\frac25\left(-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{PB}\right)\\ &=\frac25\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}-\frac14\overrightarrow{AB}\right) =\frac25\left(\frac34\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)\\ &=\frac3{10}\overrightarrow{AB}-\frac25\overrightarrow{AC}, \end{aligned}$$ $$\overrightarrow{BS}=-\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{SP}=-\frac14\overrightarrow{AB}-\frac3{10}\overrightarrow{AB}+\frac25\overrightarrow{AC}=-\frac{11}{20}\overrightarrow{AB}+\frac25\overrightarrow{AC}.$$

Neka je $y$ pozitivan realni broj za koji vrijedi $\overrightarrow{BT}=y\cdot\overrightarrow{BS}$.

Tada vrijedi da je

$$\overrightarrow{BT}=-\frac{11}{20}y\overrightarrow{AB}+\frac25y\overrightarrow{AC}.$$

Budući istovremeno vrijedi da je $\overrightarrow{BT}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AT}=-\overrightarrow{AB}+x\overrightarrow{AC}$, iz jedinstvenosti prikaza slijedi da je $-\frac{11}{20}y=-1$, odnosno $y=\frac{20}{11}$.

Konačno je

$$x=\frac25y=\frac25\cdot\frac{20}{11}=\frac8{11}.$$

Iz jednakosti $\overrightarrow{AT}=\frac8{11}\overrightarrow{AC}$ zaključujemo da točka $T$ dužinu $\overline{AC}$ dijeli u omjeru $8:3$ promatrano od vrha $A$.