1. Zadatak

Označimo sa $z$ broj zečeva, a s $v$ broj vjeverica na promatranome području $2004.$ godine.

Vrijedi da je $v=z+608$.

Uočimo da će $2024.$ godine na tom području biti $z\cdot\left(\frac32\right)^5$ zečeva i $v\cdot\left(\frac34\right)^4$ vjeverica.

Dakle, vrijedi da je

$$z\cdot\left(\frac32\right)^5+v\cdot\left(\frac34\right)^4=1458.$$

Rastavimo broj $1458$ na proste faktore i pojednostavnimo dobivenu jednakost:

$$z\cdot\frac{3^5}{2^5}+v\cdot\frac{3^4}{2^8}=2\cdot3^6\quad/\cdot\frac{2^8}{3^4},$$ $$z\cdot2^3\cdot3+v=2^9\cdot3^2,$$ $$24z+v=4608.$$

Riješimo sustav jednadžbi kako bismo odredili početni broj zečeva i vjeverica.

$$\begin{cases} v=z+608,\\ 24z+v=4608. \end{cases}$$

$2004.$ godine na tom je području bilo $z=160$ zečeva i $v=768$ vjeverica.

Ovisnost broja zečeva $f_z$ na tom području o proteklom vremenu $t$ u godinama može se prikazati funkcijom

$$f_z(t)=160\cdot\left(\frac32\right)^{\frac{t}{4}},$$

a ovisnost broja vjeverica $f_v$ o proteklom vremenu funkcijom

$$f_v(t)=768\cdot\left(\frac34\right)^{\frac{t}{5}}.$$

Kako bismo dokazali da je $2014.$ godine zabilježeno više zečeva nego vjeverica, trebamo pokazati da vrijedi $f_z(10)>f_v(10)$.

Uočimo da vrijedi:

$$f_z(10)=160\cdot\left(\frac32\right)^{\frac{10}{4}}=160\cdot\sqrt{\frac{243}{32}}=180\sqrt6=\sqrt{194\,400},$$ $$f_v(10)=768\cdot\left(\frac34\right)^{\frac{10}{5}}=768\cdot\frac9{16}=432=\sqrt{186\,624}.$$

Budući vrijedi $194\,400>186\,624$, slijedi da je $\sqrt{194\,400}>\sqrt{186\,624}$, odnosno $f_z(10)>f_v(10)$.

Prema tome, $2014.$ godine zabilježen je veći broj zečeva nego vjeverica.