5. Zadatak

Četiri crvene, dvije plave i tri žute kuglice treba rasporediti u staklenu, drvenu, metalnu i plastičnu posudu. Na koliko je to načina moguće učiniti ako ni u jednoj posudi plave i žute kuglice ne smiju biti zajedno?

Prebrojimo najprije na koliko je načina moguće rasporediti crvene kuglice u četiri posude.

$1.$ slučaj: Sve crvene kuglice možemo staviti u istu posudu $(4+0+0+0)$ na $4$ načina.

$2.$ slučaj: Crvene kuglice možemo rasporediti tako da tri stavimo u jednu posudu, a četvrtu kuglicu u neku od preostalih posuda $(3+1+0+0)$ na $12$ načina.

$3.$ slučaj: Crvene kuglice možemo rasporediti tako da dvije stavimo u jednu posudu, a preostale dvije u neku od preostalih posuda $(2+2+0+0)$ na $6$ načina.

$4.$ slučaj: Crvene kuglice možemo rasporediti tako da dvije stavimo u jednu posudu, a preostale dvije svaku u zasebnu posudu $(2+1+1+0)$ na $12$ načina.

$5.$ slučaj: Crvene kuglice možemo rasporediti tako da svaku stavimo u zasebnu posudu $(1+1+1+1)$ na $1$ način.

Prema tome, crvene kuglice možemo rasporediti na $4+12+6+12+1=35$ načina.

Preostaje još rasporediti dvije plave i tri žute kuglice.

$1.$ slučaj: Obje plave kuglice možemo staviti u istu posudu $(2+0+0+0)$ na $4$ načina.

Budući žute kuglice ne smiju biti u istoj posudi s plavim kuglicama, na raspolaganju preostaju tri posude. Tri žute kuglice možemo rasporediti tako da ih sve stavimo u istu posudu $(3+0+0)$ na $3$ načina, tako da dvije stavimo u jednu posudu, a treću kuglicu u jednu od preostalih posuda $(2+1+0)$ na $6$ načina te tako da svaku kuglicu stavimo u zasebnu posudu $(1+1+1)$ na $1$ način.

Dakle, u ovom je slučaju mogućih $4\cdot(3+6+1)=4\cdot10=40$ različitih raspodjela.

$2.$ slučaj: Plave kuglice možemo staviti u različite posude $(1+1+0+0)$ na $6$ načina.

Budući žute kuglice ne smiju biti u istoj posudi s plavim kuglicama, na raspolaganju preostaju dvije posude. Tri žute kuglice možemo rasporediti tako da ih sve stavimo u istu posudu $(3+0)$ na $2$ načina te tako da dvije stavimo u jednu posudu, a treću kuglicu u preostalu posudu $(2+1)$ također na $2$ načina.

Dakle, u ovom su slučaju moguće $6\cdot(2+2)=6\cdot4=24$ različite raspodjele.

Prema tome, plave i žute kuglice možemo rasporediti na $40+24=64$ načina.

Konačno, ukupni broj različitih raspodjela kuglica u posude iznosi $35\cdot64=2240$ .