2. Zadatak

Prije rješavanja jednadžbe navedimo uvjete koji moraju biti zadovoljeni kako bi logaritmi bili dobro definirani.

$1.$ uvjet - argument logaritma mora biti pozitivan: $\sin x>0$ i $\cos x>0$

$2.$ uvjet - baza logaritma mora biti pozitivna i različita od $1$: $\sin 2x>0$ i $\sin 2x\ne\frac12$

Prema tome, za rješenje jednadžbe $x$ mora vrijediti

$$x\in\left(2k\pi,\frac\pi2+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z,$$

pri čemu

$$x\ne\frac\pi{12}+2k\pi\quad\text{i}\quad x\ne\frac{5\pi}{12}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Pojednostavnimo jednadžbu primjenom formule za sinus dvostrukoga kuta te promijenimo baze obaju logaritama.

$$\log_{4\sin x\cos x}(2\sin x)\cdot\log_{4\sin x\cos x}(2\cos x)=\frac14,$$ $$\frac1{\log_{2\sin x}(4\sin x\cos x)}\cdot\frac1{\log_{2\cos x}(4\sin x\cos x)}=\frac14,$$ $$\log_{2\sin x}(4\sin x\cos x)\cdot\log_{2\cos x}(4\sin x\cos x)=4,$$ $$\log_{2\sin x}(2\sin x\cdot2\cos x)\cdot\log_{2\cos x}(2\cos x\cdot2\sin x)=4,$$ $$\left[1+\log_{2\sin x}(2\cos x)\right]\cdot\left[1+\log_{2\cos x}(2\sin x)\right]=4.$$

Uvedimo supstituciju $t=\log_{2\sin x}(2\cos x)$.

Dobivena kvadratna jednadžba glasi

$$(1+t)\cdot\left(1+\frac1t\right)=4,$$

odnosno $t^2-2t+1=0$.

Jedino rješenje te jednadžbe jest $t=1$.

Iz $\log_{2\sin x}(2\cos x)=1$ slijedi da je $2\sin x=2\cos x$, odnosno $\operatorname{tg}x=1$.

Zbog uvjeta zadatka zaključujemo da je rješenje početne jednadžbe

$$x=\frac\pi4+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.$$