3. Zadatak

Treba pokazati da je

$$x^2+(x+1)^2\ge0.5,\qquad\text{za sve }x\in\mathbb R.$$

Dana je nejednakost ekvivalentna s

$$x^2+(x+1)^2-0.5\ge0$$ $$\Longleftrightarrow 2x^2+2x+0.5\ge0$$ $$\Longleftrightarrow 4x^2+4x+1\ge0$$ $$\Longleftrightarrow (2x+1)^2\ge0.$$

Posljednja je nejednakost istinita za sve realne brojeve $x$.

Još treba vidjeti koliko cijelih brojeva zadovoljava nejednakost

$$x^2+(x+1)^2\le41.$$

Ova je nejednakost ekvivalentna s

$$2x^2+2x+1\le41,$$

odnosno

$$x^2+x-20\le0,$$

pa su rješenja

$$x\in[-5,4]\cap\mathbb Z=\{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}.$$

Dakle, ima ukupno 10 parova cijelih brojeva koji zadovoljavaju traženi uvjet. To su

$$(-5,-4),\ (-4,-3),\ (-3,-2),\ (-2,-1),\ (-1,0),\ (0,1),\ (1,2),\ (2,3),\ (3,4),\ (4,5).$$