5. Zadatak

Označimo $a=|AB|$, $b=|AD|$. Slijedi

$$|AM|=\frac23a,\qquad |AN|=\frac34b.$$

Neka je $S\in AC$ tako da je $NS\parallel AB$.

Očito je $\triangle ANS\sim\triangle ADC$ (KK) s koeficijentom sličnosti $\frac34$ pa slijedi

$$|NS|=\frac34a,\qquad |AS|=\frac34|AC|.$$

Kako je $\angle APM=\angle SPN$ (vršni kutovi) i $\angle MAP=\angle NSP$ (kutovi s paralelnim kracima), vrijedi $\triangle PSN\sim\triangle PAM$.

Tada je

$$\frac{|AP|}{|SP|}=\frac{|AM|}{|SN|},$$ $$\frac{|AP|}{|AS|-|AP|}=\frac{\frac23a}{\frac34a}=\frac89.$$

Slijedi

$$9|AP|=6|AC|-8|AP|$$

pa je

$$\frac{|AP|}{|AC|}=\frac6{17}.$$