6. Zadatak

Pojednostavimo danu jednadžbu.

$$4\sin^2x-4\sin x\cos x+\cos^2x+\sin^2x-4\sin x\cos x+4\cos^2x=a$$ $$5(\cos^2x+\sin^2x)-a=4\sin2x$$ $$\sin2x=\frac{5-a}{4}.$$

Neka je $t=2x$. Ako je $x\in[0,\pi)$, tada je $t\in[0,2\pi)$. Tada tražimo broj rješenja jednadžbe

$$\sin t=\frac{5-a}{4}\tag{*}$$

unutar intervala $[0,2\pi)$.

Kako je $|\sin t|\le1$ za sve $t\in\mathbb R$, vrijedi:

1. Za $\left|\frac{5-a}{4}\right|>1$, odnosno za $a<1$ ili $a>9$, jednadžba (*) nema rješenja.
2. Za $\left|\frac{5-a}{4}\right|=1$, odnosno za $a=1$ ili $a=9$, jednadžba (*) ima jedno rješenje unutar $[0,2\pi)$.
3. Za $\left|\frac{5-a}{4}\right|<1$, odnosno za $1<a<9$, jednadžba (*) ima dva rješenja u $[0,2\pi)$.