7. Zadatak

Iz danih podataka i kosinusovog poučka slijedi

$$\frac{e^2}{f^2}=\frac{a^2+b^2-2ab\cos120^\circ}{a^2+b^2-2ab\cos60^\circ}$$ $$\frac{109}{39}=\frac{a^2+b^2+ab}{a^2+b^2-ab}.$$

Odatle nakon sređivanja slijedi

$$35a^2-74ab+35b^2=0.\tag{*}$$

Tada rastavljanjem na faktore dobivamo

$$35a^2-25ab-49ab+35b^2=0$$ $$5a(7a-5b)-7b(7a-5b)=0$$ $$(7a-5b)(5a-7b)=0.$$

Slijedi da je $7a-5b=0$ ili $5a-7b=0$, odnosno

$$\frac ab=\frac57\quad\text{ili}\quad\frac ab=\frac75.$$

Napomena: Jednadžba (*) se može riješiti kao kvadratna po $a$ ili $b$, a može se i podijeliti s $b^2$ te se dobije kvadratna jednadžba po $a/b$:

$$35\left(\frac ab\right)^2-74\cdot\frac ab+35=0.$$