1. Zadatak

Jednadžba ima smisla jedino ako je $1+\cos x>0$, odnosno ako je $\cos x>-1$, a to znači za sve $x\in\mathbb R$ osim kada je $\cos x=-1$.

Isto tako baza logaritamske funkcije mora biti pozitivna i različita od 1 pa vrijedi $\sqrt2\sin x>0$ i $\sqrt2\sin x\ne1$, odnosno

$$\sin x>0\quad\text{i}\quad\sin x\ne\frac1{\sqrt2}.$$

Iz same jednadžbe slijedi

$$1+\cos x=2\sin^2x$$ $$1+\cos x=2(1-\cos^2x)$$ $$2\cos^2x+\cos x-1=0$$

te dobivamo $\cos x=\frac12$ i $\cos x=-1$.

$\cos x=-1$ nije rješenje zbog početnog uvjeta, a iz $\cos x=\frac12$ dobivamo $x=\frac\pi3+2k\pi$ ili $x=-\frac\pi3+2k\pi$. Zbog početnog uvjeta rješenje je samo

$$x=\frac\pi3+2k\pi.$$