8. Zadatak

Neka je $|BC|=8\text{ cm}$, $|AC|=6\text{ cm}$, $|AB|=4\sqrt6\text{ cm}$, $|AM|=x\text{ cm}$, $|BN|=y\text{ cm}$.

Pošto je $|MC|=|NC|=|MN|$, tada je

$$x^2+36=y^2+64=(y-x)^2+96$$

pa dobivamo sustav jednadžbi

$$\begin{cases} x^2-y^2=28\\ 2xy-x^2=32. \end{cases}$$

Supstitucijom $\frac yx=z$ dobivamo

$$\begin{cases} x^2-x^2z^2=28\\ 2x^2z-x^2=32. \end{cases}$$

Dijeljenjem dobivamo

$$\frac{1-z^2}{2z-1}=\frac78,$$

odnosno $8z^2+14z-15=0$ pa je $z_1=\frac34$ i $z_2=-\frac52$.

Pošto je $x>0$ i $y>0$, tada je $z=\frac yx>0$.

Dakle, za $z=\frac34$ imamo

$$\begin{cases} y=\frac34x\\ x^2-y^2=28. \end{cases}$$

Pozitivna rješenja su $x=8\text{ cm}$, $y=6\text{ cm}$.

Iz trokuta $AMC$ imamo $|CM|^2=36+64$ ili $|CM|=10\text{ cm}$ pa je

$$P=25\sqrt3\text{ cm}^2.$$