1. Zadatak

Izraz na lijevoj strani jednakosti ćemo zapisati u pogodnijem obliku i primijeniti osnovni identitet $\cos^2x+\sin^2x=1$. Redom slijedi:

$$\begin{aligned} \cos^4x\sin x+\cos^2x\sin^3x+\sin^3x &=\sin x(\cos^4x+\cos^2x\sin^2x+\sin^2x)\\ &=\sin x(\cos^2x(\cos^2x+\sin^2x)+\sin^2x)\\ &=\sin x(\cos^2x+\sin^2x)=\sin x. \end{aligned}$$

Tako smo zadanu jednakost sveli na $\sin x=a^2-3$.

Budući da je $-1\leq\sin x\leq1$, realan broj $x$ za koji dana jednakost vrijedi postoji samo ako je $-1\leq a^2-3\leq1$.

Rješenje nejednadžbe $a^2-3\geq-1$, tj. $a^2\geq2$ je $a\in\langle-\infty,-\sqrt2]\cup[\sqrt2,+\infty\rangle$.

Rješenje nejednadžbe $a^2-3\leq1$, tj. $a^2\leq4$ je $a\in[-2,2]$.

Dakle, da bi postojao realan broj $x$ takav da je $\cos^4x\sin x+\cos^2x\sin^3x+\sin^3x=a^2-3$, broj $a$ mora biti iz intervala $[-2,-\sqrt2]\cup[\sqrt2,2]$.

Početni izraz se može pojednostaviti i na sljedeći način:

$$\begin{aligned} \cos^4x\sin x+\cos^2x\sin^3x+\sin^3x &=(1-\sin^2x)^2\sin x+(1-\sin^2x)\sin^3x+\sin^3x\\ &=(1-2\sin^2x+\sin^4x)\sin x+\sin^3x-\sin^5x+\sin^3x\\ &=\sin x-2\sin^3x+\sin^5x+2\sin^3x-\sin^5x=\sin x. \end{aligned}$$