4. Zadatak
Zadana je kvadratna mreža dimenzija . U jedno polje te mreže upisana je nula. U preostala polja treba upisati prirodne brojeve tako da razlika brojeva u susjednim poljima bude najviše . Susjednim poljima smatramo polja koja imaju zajedničku stranicu. Dokažite da postoje barem tri takva polja u koja je upisan isti broj.
Krenimo od polja u kojemu je . Da bismo iz tog polja došli do bilo kojeg drugog polja, potrebno je napraviti najviše koraka. Naime, najveći broj koraka bi se postigao ako bi bila u jednom kutu, a mi se želimo pomaknuti u suprotni kut. Tada trebamo napraviti horizontalnih i vertikalnih pomaka, odnosno koraka.
U svakom je koraku dozvoljeno povećanje za najviše pa je najveći broj koji se može pojaviti u mreži jednak .
Dakle, u mrežu je moguće upisati najviše različiti broj.
Kad bi se svaki od tih brojeva javljao manje od tri puta, tada bi bilo upisano najviše broja, a tablica ima mjesta.
Prema tome u mreži se nalaze barem tri polja u kojima je zapisan isti broj.