7. Zadatak

Prvo rješenje.

Primjenom Vièteovih formula na rješenja $x_1$, $x_2$ dane jednadžbe dobivamo:

$$\begin{cases} x_1+x_2=3+a,\\ x_1x_2=3a+3. \end{cases} \tag{$\star$}$$

Izrazimo li iz jednakosti $(\star)$ npr. $x_1$ preko $x_2$, dobivamo $x_1=\frac{3x_2-6}{x_2-3}$.

Sada $x_1$ možemo zapisati u obliku

$$x_1=\frac{3x_2-6}{x_2-3}=\frac{3(x_2-3)+3}{x_2-3}=3+\frac3{x_2-3}.$$

Kako je $x_1$ cijeli broj, zaključujemo da je $x_2-3\in\{1,3,-1,-3\}$. Dakle, imamo sljedeće mogućnosti:

$$x_2-3=1\Rightarrow x_2=4\Rightarrow x_1=6,$$ $$x_2-3=3\Rightarrow x_2=6\Rightarrow x_1=4,$$ $$x_2-3=-1\Rightarrow x_2=2\Rightarrow x_1=0,$$ $$x_2-3=-3\Rightarrow x_2=0\Rightarrow x_1=2.$$

Iz $x_1=6$, $x_2=4$ i jednakosti $(\star)$ dobivamo $a=7$, analogno kao i iz $x_1=4$ i $x_2=6$.

Iz $x_1=0$, $x_2=2$ i jednakosti $(\star)$ dobivamo $a=-1$, analogno kao i iz $x_1=2$ i $x_2=0$.

Dakle, samo za cijele brojeve $a=-1$ i $a=7$ su rješenja jednadžbe također cijeli brojevi.

Drugo rješenje.

Da bi rješenja jednadžbe bili cijeli brojevi nužno je da je diskriminanta te jednadžbe potpuni kvadrat. Izračunajmo diskriminantu.

$$D=(3+a)^2-4(3a+3)=a^2-6a-3.$$

Dakle, zaključujemo da je $a^2-6a-3=b^2$.

Izraz možemo zapisati u obliku $(a-3)^2-12=b^2$, $b>0$, odakle dobivamo

$$(a-3-b)(a-3+b)=12.$$

Kako su $a$ i $b$ cijeli brojevi, $b>0$ imamo sljedeće mogućnosti:

$$\begin{array}{rcl} a-3-b=1,&a-3+b=12&\Rightarrow a=\frac{19}{2}\notin\mathbb Z,\\ a-3-b=2,&a-3+b=6&\Rightarrow a=7,\\ a-3-b=3,&a-3+b=4&\Rightarrow a=\frac{13}{2}\notin\mathbb Z,\\ a-3-b=-12,&a-3+b=-1&\Rightarrow a=-\frac72\notin\mathbb Z,\\ a-3-b=-6,&a-3+b=-2&\Rightarrow a=-1,\\ a-3-b=-4,&a-3+b=-3&\Rightarrow a=-\frac12\notin\mathbb Z. \end{array}$$

Za $a=7$ dobivamo jednadžbu $x^2-10x+24=0$ čije su nultočke $x_1=4$ i $x_2=6$ cijeli brojevi.

Za $a=-1$ dobivamo jednadžbu $x^2-2x=0$ čije su nultočke $x_1=0$ i $x_2=2$ cijeli brojevi.

Treće rješenje.

Jednadžbu možemo zapisati u obliku

$$(x-a)(x-3)=-3.$$

Prema uvjetu zadatka $x$ i $a$ su cijeli brojevi, pa je tada $x-a$ cijeli broj, kao i $x-3$. Prema tome imamo sljedeće slučajeve:

$$\begin{array}{rcl} x-a=1,&x-3=-3&\Rightarrow x=0,\ a=-1,\\ x-a=-1,&x-3=3&\Rightarrow x=6,\ a=7,\\ x-a=3,&x-3=-1&\Rightarrow x=2,\ a=-1,\\ x-a=-3,&x-3=1&\Rightarrow x=4,\ a=7. \end{array}$$

Kako je zadana jednadžba kvadratna, za svaki dobiveni $a$ možemo imati najviše dva različita rješenja. Iz provedene analize svaki dobiveni $a$ daje dva rješenja čime su svi uvjeti zadatka zadovoljeni. Za $a=-1$ rješenja su $x_1=0$ i $x_2=2$, a za $a=7$ rješenja su $x_1=4$ i $x_2=6$.