5. Zadatak

U uspravni stožac upisana je kugla polumjera $1$ . Izvodnica zatvara s bazom stošca kut od $60^\circ$ . Stožac je presječen ravninom koja je paralelna s bazom stošca i dodiruje kuglu. Kolika je površina presjeka te ravnine i stošca?

Prvo rješenje.

Na slici je prikazan osni presjek zadanog stošca i upisane kugle.

Osni presjek stošca i upisane kugle, prvo rješenje

Uz oznake kao na slici iz pravokutnog trokuta $ANS$ dobivamo da je

\operatorname{tg}\frac\alpha2=\frac rR\Rightarrow R=\frac r{\operatorname{tg}\frac\alpha2}=\frac1{\operatorname{tg}30^\circ}=\sqrt3.

Trapez $ABCD$ je tangencijalni pa vrijedi da je $2R+2r_1=2y\Rightarrow y=R+r_1=\sqrt3+r_1$ .

Nadalje, iz pravokutnog trokuta $EBC$ dobivamo $\sin\alpha=\frac{2r}{y}$ pa je

y=\frac{2r}{\sin\alpha}=\frac2{\sin60^\circ}=\frac{4\sqrt3}{3}.

Kako je $r_1=y-R$ konačno dobivamo $r_1=\frac{4\sqrt3}{3}-\sqrt3=\frac{\sqrt3}{3}$ .

Dakle, površina presjeka ravnine i stošca jednaka je $P=r_1^2\cdot\pi=\frac\pi3$ .

Drugo rješenje.

Na slici je prikazan osni presjek zadanog stošca i upisane kugle.

Osni presjek stošca i upisane kugle, drugo rješenje

Uz oznake kao na slici iz pravokutnog trokuta $ANS$ dobivamo da je

\operatorname{tg}\frac\alpha2=\frac rR\Rightarrow R=\frac r{\operatorname{tg}\frac\alpha2}=\frac1{\operatorname{tg}30^\circ}=\sqrt3.

Iz pravokutnog trokuta $ANV$ dobivamo $\operatorname{tg}\alpha=\frac{|NV|}{|AN|}$ , odakle slijedi

|NV|=\operatorname{tg}\alpha\cdot R=\operatorname{tg}60^\circ\cdot\sqrt3=3.

Trokut $ANV$ sličan je trokutu $DMV$ . Stoga vrijedi $\frac{|AN|}{|NV|}=\frac{|DM|}{|MV|}$ , odnosno $\frac R{|NV|}=\frac{r_1}{|MV|}$ .

Dakle, dobivamo

r_1=\frac{R\cdot|MV|}{|NV|}=\frac{R\cdot(|NV|-2r)}{|NV|}=\frac{\sqrt3\cdot(3-2)}3=\frac{\sqrt3}{3}.

Konačno, površina presjeka ravnine i stošca jednaka je $P=r_1^2\cdot\pi=\frac\pi3$ .