6. Zadatak

Rješenje prve nejednadžbe mora ispunjavati uvjet $9x^2-12x+5\geq0$.

Kako je diskriminanta pripadne kvadratne jednadžbe $D=-36$ negativna, a vodeći koeficijent veći od nule, zaključujemo uvjet je ispunjen za svaki $x\in\mathbb R$.

Budući da je najmanja moguća vrijednost funkcije $f(x)=9x^2-12x+5$ jednaka

$$y_0=\frac{4ac-b^2}{4a}=1,$$

i $\sin x\in[-1,1]$, zaključujemo da je nejednakost $\sqrt{9x^2-12x+5}\geq\sin x$ ispunjena za svaki realan broj $x$.

Nacrtajmo u istom koordinatnom sustavu graf funkcije $g(x)=|x|-\frac\pi2$ i graf funkcije $h(x)=\cos x$.

Uočimo da grafovi funkcija $g(x)=|x|-\frac\pi2$ i $h(x)=\cos x$ imaju zajednička sjecišta s $x$ osi, točke $\left(-\frac\pi2,0\right)$ i $\left(\frac\pi2,0\right)$ te da su im to jedine zajedničke točke, što je očito iz grafičkog prikaza.

Nadalje, graf funkcije $g(x)=|x|-\frac\pi2$ se nalazi ispod grafa funkcije $h(x)=\cos x$ između $-\frac\pi2$ i $\frac\pi2$ pa je rješenje druge nejednadžbe $x\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$.

Kako je rješenje prve nejednadžbe svaki realan broj $x$, a rješenje druge $\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$, zaključujemo da je rješenje danog sustava

$$x\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right].$$