5. Zadatak

Broj $7^{2016^{2017}}$ možemo zapisati na sljedeći način:

$$7^{2016^{2017}}=7^{2016\cdot2016\cdot2016\cdot\ldots\cdot2016}.$$

Eksponent danog broja je djeljiv s 8 jer je 2016 djeljiv s 8 pa vrijedi:

$$7^{2016^{2017}}=7^{8x}=(7^4)^{2x},$$

gdje je $x$ neki cijeli broj. Dalje slijedi

$$7^{2016^{2017}}=(7^4)^{2x}=(2400+1)^{2x}=(2400^2+4800+1)^x=(100y+1)^x,$$

pri čemu i $y$ označava neki cijeli broj.

Zadnje dvije znamenke danog broja su $01$.

Napomena. Učenici mogu promatrati potencije broja 7 i zaključiti da uvijek završavaju redom na 7, 9, 3 i 1, a kako je eksponent danog broja djeljiv s 4, mora imati zadnju znamenku 1. (3 boda)

Kako je

$$7^{2016^{2017}}=7^{4k}=2401\cdot\ldots\cdot2401\cdot2401,$$

dani će umnožak zasigurno završiti s 0 na predzadnjem mjestu (što vrijedi preostala 3 boda), što je potrebno obrazložiti kao u prvom rješenju. Priznati i ako je učenik obrazložio koristeći dio pismenog množenja sa zadnjim brojem 2401.