4. Zadatak

U svako polje tablice $4\times4$ upisan je jedan broj. Za svako je polje zbroj brojeva u njemu susjednim poljima jednak istom prirodnom broju $x$ (dva polja su susjedna ako imaju zajedničku stranicu). Odredite broj $x$ tako da zbroj svih brojeva u tablici iznosi 282.

Rješenje

Prvo rješenje.

Označimo polja ovako:

$A$	$B$	$C$	$D$
$E$	$F$	$G$	$H$
$I$	$J$	$K$	$L$
$M$	$N$	$O$	$P$

Traženi ćemo zbroj izračunati grupiranjem brojeva iz polja u disjunktne skupine. Grupirat ćemo redom za neko polje iz tablice njemu susjedne članove i paziti da ne brojimo dvaput isti broj:

\begin{aligned} A+B+C+D+E+F+G+H+I+J+K+L+M+N+O+P &=(A+F+C)+(B+D+G)+(E+J+M)\\ &\quad +(H+K+P)+(I+N)+(L+O)\\ &=x+x+x+x+x+x=6x. \end{aligned}

Iz uvjeta zadatka slijedi $6x=282$ , odnosno $x=47$ .

Drugo rješenje.

Uz isti početak kao u prvom rješenju, grupiranje članova može se i drugačije napraviti, primjerice:

\begin{aligned} A+B+C+D+E+F+G+H+I+J+K+L+M+N+O+P &=(B+E)+(C+H)+(D+G+L)\\ &\quad +(A+F+I)+(M+J+O)+(N+K+P)\\ &=x+x+x+x+x+x=6x. \end{aligned}

Iz uvjeta zadatka slijedi $6x=282$ , odnosno $x=47$ .

Napomena. Zadatak se boduje sa 6 bodova ako je učenik ispisao točnih 16 jednadžbi sa 16 nepoznanica i dobio točan rezultat. Ako je u tom sustavu napravio neku pogrešku, sustav točnih jednadžbi bodovati s 2 boda, a zamjenu zbroja brojeva u susjednim poljima s $x$ s 1 bod. Ako je samo jedna računska greška, bez koje bi učenik svojim postupkom došao do točnog rješenja, oduzeti 1 bod.