7. Zadatak

Uočimo da je trokut $ACD$ jednakokračan, odnosno $|AD|=5\,\text{cm}$.

Povucimo visinu $CN$ iz vrha $C$ na stranicu $AB$. Trokut $ANC$ ima kutove $30^\circ$, $90^\circ$, $60^\circ$ i pola je jednakostraničnog trokuta $ACC'$ kojemu je duljina stranice 5 cm.

Slijedi

$$|CN|=2.5\,\text{cm},\qquad |AN|=\frac{5\sqrt3}{2}\,\text{cm}.$$

Po Pitagorinom poučku je

$$|NB|^2=|BC|^2-|CN|^2=6.5^2-2.5^2=36$$

pa je $|NB|=6\,\text{cm}$.

Tada je

$$|AB|=|AN|+|NB|=\left(\frac{5\sqrt3}{2}+6\right)\,\text{cm}.$$ $$|ND|=|AD|-|AN|=\left(5-\frac{5\sqrt3}{2}\right)\,\text{cm}.$$

Duljinu $x=|CD|$ ćemo izračunati iz pravokutnog trokuta $CND$, također koristeći Pitagorin poučak.

$$\begin{aligned} |CD|^2&=|CN|^2+|ND|^2\\ &=2.5^2+\left(5-\frac{5\sqrt3}{2}\right)^2\\ &=\frac{25}{4}+25-25\sqrt3+\frac{75}{4}=50-25\sqrt3. \end{aligned}$$ $$|CD|=\sqrt{50-25\sqrt3}\,\text{cm}$$

(što se može zapisati i kao $5\sqrt{2-\sqrt3}$ ili $\frac{5\sqrt2}{2}(\sqrt3-1)$).