2. Zadatak

Prvo rješenje.

Pojednostavimo dani izraz. Za $x\ne0$ vrijedi

$$\begin{aligned} &\frac{\left(x+\frac1x\right)^3-\left(x^3+\frac1{x^3}\right)-3} {\left(x+\frac1x\right)^2-\left(x^2+\frac1{x^2}\right)+1}\\ &=\frac{x^3+3x+\frac3x+\frac1{x^3}-x^3-\frac1{x^3}-3} {x^2+2+\frac1{x^2}-x^2-\frac1{x^2}+1} =\frac{3x+\frac3x-3}{3} =x+\frac1x-1. \end{aligned}$$

Treba riješiti nejednadžbu

$$x+\frac1x-1>1, \qquad\text{odnosno}\qquad x+\frac1x>2.$$

Slijedi

$$\frac{x^2-2x+1}{x}=\frac{(x-1)^2}{x}>0.$$

Budući da je brojnik uvijek veći ili jednak nuli, ovaj je razlomak veći od nule ako mu je nazivnik veći od nule i brojnik različit od nule. Zato je rješenje

$$\boxed{x\in(0,\infty)\setminus\{1\}}.$$

Drugo rješenje.

Uvedimo zamjenu $x+\frac1x=t$. Tada je

$$x^3+\frac1{x^3}=\left(x+\frac1x\right)^3-3\left(x+\frac1x\right)=t^3-3t,$$

te

$$x^2+\frac1{x^2}=\left(x+\frac1x\right)^2-2=t^2-2.$$

Time se dani izraz transformira u

$$\frac{t^3-(t^3-3t)-3}{t^2-(t^2-2)+1} =\frac{3t-3}{3}=t-1=x+\frac1x-1.$$

Dalje slijedi postupak i rješenje kao u prvom načinu:

$$\boxed{x\in(0,\infty)\setminus\{1\}}.$$