3. Zadatak

Prvo rješenje.

Trokuti $GDH$ i $EBF$ su sukladni prema poučku S–K–S, a zatim su trokuti $GHS$ i $EFS$ sukladni prema poučku K–S–K. Prema tome, osjenčani četverokuti $DHSG$ i $BFSE$ sukladni su i imaju istu površinu, a točka $S$ je polovište dijagonale $BD$.

Označimo s $x$ polovinu visine paralelograma $ABCD$ na stranicu $CD$, a s $y$ polovinu visine na stranicu $AD$. Površina paralelograma $PDQS$ jednaka je četvrtini površine cijelog paralelograma, što iznosi $10\,\text{cm}^2$. Kako su njegove visine $x$ i $y$, vrijedi

$$10=5x\Longrightarrow x=2\,\text{cm}, \qquad 10=4y\Longrightarrow y=2.5\,\text{cm}.$$

Površine trokuta $GDS$ i $DHS$ jednake su

$$P(GDS)=\frac{|GD|\,x}{2}=\frac{1\cdot2}{2}=1\,\text{cm}^2,$$ $$P(DHS)=\frac{|DH|\,y}{2}=\frac{1\cdot2.5}{2}=1.25\,\text{cm}^2.$$

Tada je tražena površina jednaka

$$2\bigl(P(GDS)+P(DHS)\bigr)=2(1+1.25)=\boxed{4.5\,\text{cm}^2}.$$

Drugo rješenje.

Na isti način kao u prvom rješenju zaključujemo da su osjenčani četverokuti $DHSG$ i $BFSE$ sukladni i da je točka $S$ sjecište dijagonala. Slijedi da su trokuti $AES$ i $CGS$ te trokuti $ASH$ i $CSF$ sukladni prema poučku S–S–S.

Površina osjenčanog dijela jednaka je

$$P_0=P(ABCD)-2P(AES)-2P(ASH).$$

Iz formule za površinu paralelograma $P=a\,v_a$ slijedi

$$v_a=\frac{40}{10}=4, \qquad v_b=\frac{40}{8}=5.$$

Stoga je

$$P(AES)=\frac12|AE|\,\frac{v_a}{2}=\frac12\cdot9\cdot2=9,$$ $$P(ASH)=\frac12|AH|\,\frac{v_b}{2}=\frac12\cdot7\cdot2.5=8.75.$$

Slijedi

$$P_0=40-2\cdot9-2\cdot8.75=\boxed{4.5\,\text{cm}^2}.$$