5. Zadatak

Prema uvjetima zadatka, a uz oznake kao na slici, vrijedi

$$t_a+t_b=5\sqrt5, \qquad t_a\,t_b=30.$$

Primijenimo Pitagorin poučak na trokute $AQC$ i $BCP$:

$$t_a^2=b^2+\left(\frac a2\right)^2, \qquad t_b^2=a^2+\left(\frac b2\right)^2.$$

Zbrojimo li ove jednadžbe, dobivamo

$$t_a^2+t_b^2=a^2+b^2+\frac{a^2+b^2}{4}=\frac54c^2.$$

Iz $(t_a+t_b)^2=t_a^2+2t_at_b+t_b^2$ slijedi

$$t_a^2+t_b^2=(t_a+t_b)^2-2t_at_b=125-60=65.$$

Zato je

$$c^2=\frac45(t_a^2+t_b^2)=\frac45\cdot65=52, \qquad \boxed{c=2\sqrt{13}}.$$