3. Zadatak

Neka najmanji broj $x$ s navedenim svojstvom ima $n$ znamenki. Tada ga možemo zapisati u obliku $x=a_1\cdot10^{n-1}+a_2\cdot10^{n-2}+\ldots+a_{n-1}\cdot10+a_n$, pri čemu su $a_1,a_2,\ldots,a_n\in\{0,1,2,3,\ldots,9\}$ i $a_1\neq0$.

Nakon što pomaknemo prvu znamenku na zadnje mjesto dobivamo broj

$$x'=a_2\cdot10^{n-1}+a_3\cdot10^{n-2}+\ldots+a_n\cdot10+a_1.$$

Broj $x'$ možemo zapisati u obliku:

$$\begin{aligned} x'&=a_2\cdot10^{n-1}+a_3\cdot10^{n-2}+\ldots+a_n\cdot10+a_1\\ &=10\cdot(a_2\cdot10^{n-2}+a_3\cdot10^{n-3}+\ldots+a_n)+a_1\\ &=10\cdot(x-a_1\cdot10^{n-1})+a_1\\ &=10x+a_1-a_1\cdot10^n. \end{aligned}$$

Iz $x'=3x$ dobivamo da je $10x+a_1-a_1\cdot10^n=3x$, odnosno $7x=a_1\cdot(10^n-1)$, odakle zaključujemo da je

$$x=\frac{a_1\cdot(10^n-1)}7.$$

Ako je $a_1=7$ dobivamo da je $x=10^n-1=\underbrace{99\ldots9}_{n\text{ devetki}}$, te premjestimo li prvu znamenku na zadnje mjesto dobit ćemo isti broj, a ne tri puta veći što je uvjet zadatka. Dakle, zaključujemo da broj $10^n-1$ mora biti djeljiv sa $7$.

Direktnom provjerom nalazimo da je najmanji broj $n$ za koji je broj $10^n-1$ djeljiv sa $7$ broj $n=6$.

Dakle, najmanji pozitivan cijeli broj koji ima svojstvo da se premještanjem njegove prve znamenke na zadnje mjesto dobije tri puta veći broj je broj

$$x=\frac{1\cdot(10^6-1)}7=142857.$$