5. Zadatak

Uočimo da će zadana jednadžba općenito imati rješenje, odnosno maksimalan broj rješenja samo ako je $7-x>0$, odnosno za $x<7$. (*)

Promotrimo sljedeća dva slučaja.

Prvi slučaj, ako je $x\leq3$.

Tada je $|2x-6|=-2x+6$ pa vrijedi $|-2x+6-a|=7-x$. Ako je $7-x>0$, dvije su mogućnosti: $-2x+6-a=7-x$ ili $-2x+6-a=-7+x$. Ove obje jednadžbe moraju imati rješenje $x$, $x\leq3$.

Rješenje prve jednadžbe je $x=-1-a$. Tada je $-1-a\leq3$. Dakle, ako je $a\geq-4$ jedno rješenje dane jednadžbe jest $x=-1-a$.

Rješenje druge jednadžbe, $-2x+6-a=-7+x$ je $x=\frac{13-a}{3}$. Tada je $\frac{13-a}{3}\leq3$. Dakle, ako je $a\geq4$ dobivamo još jedno rješenje zadane jednadžbe.

Promotrimo sad drugi slučaj, za $x>3$, odnosno zbog uvjeta (*) za $3<x<7$.

Tada je $|2x-6|=2x-6$, odnosno rješavamo jednadžbu $|2x-6-a|=7-x$.

Kao i u prvom slučaju imamo dvije mogućnosti: $2x-6-a=7-x$ ili $2x-6-a=-7+x$.

Rješenje prve jednadžbe je $x=\frac{13+a}{3}$. Provjerimo za koje će realne brojeve $a$ ovo rješenje zadovoljavati uvjet $3<x<7$. Slijedi redom:

$$3<\frac{13+a}{3}<7,$$ $$-4<a<8.$$

Dakle, ako je $-4<a<8$ dobivamo jedno rješenje zadane jednadžbe, $x=\frac{13+a}{3}$.

Rješenje druge jednadžbe, $2x-6-a=-7+x$, jest $x=-1+a$. Tada iz $3<-1+a<7$, slijedi da će zadana jednadžba imati još jedno rješenje uz uvjet $4<a<8$.

Konačno, maksimalan broj rješenja koje zadana jednadžba može imati jest $4$ uz uvjet da za realni broj $a$ vrijedi:

$$\begin{aligned} a&\geq-4,\\ a&\geq4,\\ -4&<a<8,\\ 4&<a<8. \end{aligned}$$

Očito je rješenje ovog sustava interval $\langle4,8\rangle$, odnosno zadana jednadžba ima maksimalan broj rješenja ako je realan broj $a\in\langle4,8\rangle$.