2. Zadatak

Iz zadane jednadžbe zaključujemo da je $x\neq-\frac12,0,\frac12$ i $a\neq0$.

Zadanu jednadžbu možemo zapisati u obliku

$$\frac1{2x-1}+\frac1{2x+1}=\frac1{ax},$$

odnosno

$$\frac{4x}{4x^2-1}=\frac1{ax}.$$

Tada je $4x^2-1=4ax^2$. Slijedi da je

$$x^2=\frac1{4(1-a)}.$$

Odavde zaključujemo da će rješenja zadane jednadžbe biti realni brojevi ako je $1-a>0$, tj. $a<1$.

U tom slučaju, budući da je $a\neq0$, ispunjeni su uvjeti da je $x\neq-\frac12,0,\frac12$. Stoga zaključujemo da je najveći cijeli broj $a$ za koji su rješenja dane jednadžbe realni brojevi jednak $a=-1$.

Da bi rješenja polazne jednadžbe bili racionalni brojevi pored uvjeta da je $a<1$ i $a\neq0$ mora vrijediti i da je broj $1-a$ potpuni kvadrat.

Iz $1-a=1$ slijedi da je $a=0$ što ne može biti.

Dakle, najveći cijeli broj $a$ za koji su rješenja jednadžbe racionalni brojevi dobit ćemo ako je $1-a=4$. Konačno dobivamo $a=-3$.