6. Zadatak

$$\frac{x+y}{2}=8+\sqrt{xy},$$ $$x+y=16+2\sqrt{xy},$$ $$(\sqrt{x})^2−2\sqrt{xy}+(\sqrt{y})^2=16,$$ $$(\sqrt{x}−\sqrt{y})^2=16.$$

Kako je $0<x<y<10^6$, slijedi $0<\sqrt{x}<\sqrt{y}<1000$ i

$$\sqrt{y}−\sqrt{x}=4\quad\Longrightarrow\quad\sqrt{y}=\sqrt{x}+4.$$

Zadatak svodimo na određivanje broja uređenih parova $(n,n+4)$, $n\in\mathbb N$, takvih da je $n+4<1000$.

$n$	$n+4$
1	5
2	6
$\dots$	$\dots$
994	998
995	999

Iz tablice se može vidjeti da je takvih uređenih parova točno 995, a tada je 995 i parova brojeva $(x,y)$ jer je $x=n^2$, $y=(n+4)^2$ i $0<n^2<(n+4)^2<10^6$.