4. Zadatak

Neka su $r$ i $R$ redom polumjeri kružnica $k_1$ i $k_2$, koje imaju zajedničko središte $S$.

Središta svih kružnica su na istom pravcu pa kružnica $k_3$ (sa središtem u $S_3$) ima polumjer $\frac12(R+r)$, a kružnica $k_4$ (sa središtem u $S_4$) ima polumjer $\frac12(R−r)$.

Tada područja označena s A imaju površinu

$$\begin{aligned} A&=\left(\frac12(R+r)\right)^2\pi−r^2\pi+\left(\frac12(R−r)\right)^2\pi\\ &=\left(\frac14R^2+\frac12Rr+\frac14r^2−r^2+\frac14R^2−\frac12Rr+\frac14r^2\right)\pi\\ &=\frac12(R^2−r^2)\pi. \end{aligned}$$

Tada područja označena s B imaju površinu

$$B=R^2\pi−\left(\frac12(R+r)\right)^2\pi−\left(\frac12(R−r)\right)^2\pi=\frac12(R^2−r^2)\pi.$$

Dakle, $A=B$.