6. Zadatak

Prvi broj u tom nizu koji je djeljiv s 202 ima na kraju znamenku 2. Kako se sljedeći broj u nizu dobije dodavanjem nule, odnosno množenjem s 10, to je i sljedeći broj djeljiv s 202. Dakle prvi par brojeva djeljiv s 202 je $a_2=202$, $a_3=202\cdot10$.

Dodavanje znamenke 2 znači prethodni broj množimo s 10 i dodajemo 2. Stoga slijedi da je

$$a_4=a_3\cdot10+2=202\cdot100+2,\qquad a_5=a_4\cdot10=202\cdot1000+20,$$

a ovaj par brojeva očito nije djeljiv s 202.

Na isti način dobivamo da je sljedeći par brojeva djeljiv s 202:

$$a_6=a_5\cdot10+2=202\cdot10^4+200+2=202\cdot10^4+202=202(10^4+1)$$ $$a_7=a_6\cdot10=202(10^4+1)\cdot10.$$

Analognim zaključivanjem vidimo da i dalje naizmjence dobivamo parove brojeva koji su djeljivi s 202 i koji nisu.

Prvih 50 parova brojeva (prvih 100 brojeva) koji su djeljivi s 202 su

$$\begin{array}{rll} 1. & 202 & \text{i }2020\\ 2. & 2020202 & \text{i }20202020\\ 3. & 20202020202 & \text{i }202020202020\\ &\ldots&\\ 50. & 2020\ldots202 & \text{i }2020\ldots2020 \end{array}$$

Prvi par sadrži ukupno 4 znamenke 2, drugi ukupno 8,…, pedeseti par 200 znamenki 2.

Zbroj znamenaka ovih 100 brojeva iznosi

$$\begin{aligned} 4\cdot2+8\cdot2+12\cdot2+\ldots+200\cdot2 &=2(4+8+12+\ldots+200)\\ &=8(1+2+3+\ldots+50)=8\cdot50\cdot51/2=10200. \end{aligned}$$