5. Zadatak

Iz $\alpha:\beta:\gamma=2:3:7$ i $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$ dobivamo $\alpha=30^\circ$, $\beta=45^\circ$ i $\gamma=105^\circ$.

Stoga imamo sljedeću skicu.

Kako je $\alpha$ najmanji, a $\gamma$ najveći kut, zaključujemo da je najkraća stranica $\overline{BC}$, a najdulja $\overline{AB}$.

Kako je stranica $\overline{BC}$ dijagonala kvadrata $BFCD$ i kako je njezina duljina 1 cm, slijedi da je

$$|BD|=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}\ \text{cm}.$$

Trokut $AEC$ je jednakostraničan, stranice duljine $2|CD|=\sqrt2$.

Dužina $\overline{AD}$ je visina jednakostraničnog trokuta $AEC$ duljine stranice $\sqrt2$ te je

$$|AD|=\frac{\sqrt2\cdot\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt6}{2}.$$

Stoga je duljina najdulje stranice

$$|AB|=|AD|+|DB|=\frac12(\sqrt6+\sqrt2)\ \text{cm}.$$