7. Zadatak

Neka su duljine stranica $a-2$, $a$, $a+2$.

Iz omjera površina slijedi

$$\frac{xv/2}{yv/2}=\frac{x}{y}=\frac32,$$

odnosno $x=\dfrac32y$.

Primijenimo Pitagorin poučak na pravokutne trokute $ANC$ i $NBC$ sa slike.

$$v^2=(a+2)^2-x^2,\qquad v^2=(a-2)^2-y^2.$$

Nakon izjednačavanja desnih strana dobivenu jednakost možemo pisati u obliku

$$(a+2)^2-(a-2)^2=x^2-y^2.$$

Slijedi $8a=(x-y)(x+y)$,

a kako je $x+y=a$, dobivamo $8a=(x-y)a$,

pa je $x-y=8$.

Iz $x=\dfrac32y$ i $x-y=8$ slijedi $y=16$, $x=24$,

$a=x+y=40$.

Opseg zadanog trokuta je $o=(a-2)+a+(a+2)=3a=120$.

Napomena: Ako su stranice $a$, $a+2$, $a+4$ dobivamo:

$$\begin{aligned} v^2&=(a+4)^2-x^2=a^2-y^2\\ (a+4)^2-a^2&=x^2-y^2\\ 8a+16&=(x-y)(x+y)\\ 8(a+2)&=(x-y)(a+2) \end{aligned}$$

dakle $x-y=8$ te dalje nastavljamo kao u gornjem rješenju.