7. Zadatak

Označimo sa $r$ polumjer baze valjka. Visina valjka je $6$ promjera, odnosno $12$ polumjera valjka, pa je obujam valjka

$$V_V=r^2\pi v=r^2\pi\,12r=12r^3\pi.$$

Neka je $R_L$ polumjer kuglice koju je napravila Leda, a $R_U$ polumjer kuglice koju je napravila Una. Zbroj obujmova tih kuglica jednak je obujmu valjka.

$$\frac43R_L^3\pi+\frac43R_U^3\pi=12r^3\pi.$$

Slijedi

$$R_L^3+R_U^3=9r^3,$$

a iz uvjeta u zadatku vrijedi i

$$R_L+R_U=3r.$$

Riješimo ovaj sustav jednadžbi.

$$(3r-R_U)^3+R_U^3=9r^3,$$ $$27r^3-27r^2R_U+9rR_U^2=9r^3,$$ $$3r^2-3rR_U+R_U^2=r^2,$$ $$R_U^2-3rR_U+2r^2=0.$$

Odatle je $R_U=2r$ ili $R_U=r$.

Kako Ledina kuglica ima veći polumjer, slijedi

$$R_U=r,\qquad R_L=3r-r=2r.$$

Sada vidimo da je omjer obujmova

$$\frac{V_L}{V_U}=\left(\frac{R_L}{R_U}\right)^3 =\left(\frac{2r}{r}\right)^3=8.$$

Obujam Ledine kuglice $8$ puta je veći od obujma Unine kuglice.

Napomena. U jednadžbi $R_L^3+R_U^3=9r^3$ možemo prepoznati zbroj kubova te iskoristiti $R_L+R_U=3r$. Nakon toga također dobivamo kvadratnu jednadžbu, bilo po $R_U$ ili $R_L$ ili po omjeru $\frac{R_L}{R_U}$.