6. Zadatak

Prvo rješenje.

Uočimo da su izrazi u binomnim koeficijentima u danoj jednakosti slični i uvedimo supstituciju

$$t=x^2-5x+7.$$

Tada je $2t=2x^2-10x+14$ pa imamo

$$3\binom{2t+2}{t+2}=2\binom{2t+3}{t}.$$

Tada je

$$3\cdot\frac{(2t+2)!}{t!(t+2)!} =2\cdot\frac{(2t+3)!}{t!(t+3)!},$$

pa nakon skraćivanja dobivamo

$$3=2\cdot\frac{2t+3}{t+3},$$

odakle slijedi

$$3(t+3)=2(2t+3),\qquad t=3.$$

Sada iz

$$x^2-5x+7=3$$

dobivamo $x=1$ ili $x=4$.

Drugo rješenje.

Danu jednadžbu možemo zapisati ovako:

$$3\cdot\frac{(2x^2-10x+16)!}{(x^2-5x+9)!(x^2-5x+7)!} =2\cdot\frac{(2x^2-10x+17)!}{(x^2-5x+7)!(x^2-5x+10)!},$$

a nakon skraćivanja dobivamo

$$3=2\cdot\frac{2x^2-10x+17}{x^2-5x+10}.$$

Ovo se svodi na kvadratnu jednadžbu

$$x^2-5x+4=0$$

čija su rješenja $x=1$ i $x=4$.