3. Zadatak

Zapišimo broj $z$ u trigonometrijskom obliku.

$$z=\cos\frac{11\pi}{6}+i\sin\frac{7\pi}{6} =\cos\frac{11\pi}{6}+i\sin\frac{11\pi}{6}.$$

Tada je

$$z^{2020} =\cos\frac{11110\pi}{3}+i\sin\frac{11110\pi}{3} =\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}.$$

Odredimo sada kompleksne brojeve $w$ za koje vrijedi $w^3=z^{2020}$.

$$w_1=\cos\frac{4\pi}{9}+i\sin\frac{4\pi}{9},$$ $$w_2=\cos\frac{10\pi}{9}+i\sin\frac{10\pi}{9},$$ $$w_3=\cos\frac{16\pi}{9}+i\sin\frac{16\pi}{9}.$$

Napomena. Rješenje se može zapisati u obliku

$$w_k=\cos\left(\frac13\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi\right)\right) +i\sin\left(\frac13\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi\right)\right), \qquad k=0,1,2.$$